Calcolo matriciale

Termini e definizioni

Si chiama matrice un sistema di elementi a_ij, disposti in uno schema rettangolare bidimensionale. Lo schema di m righe e n colonne si chiama matrice (m, n) o matrice m x n. La posizione di un elemento all'interno della matrice è caratterizzata da due pedici. Il primo indice è il numero della riga e il secondo è il numero della colonna. La numerazione inizia in alto a sinistra della matrice e va da sinistra a destra e dall'alto in basso. Se per una matrice è n = m allora la matrice si chiama matrice quadrata.

$A = (a_{i j}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$

Diagonale principale

Gli elementi della matrice per i pedici i = j sono gli elementi della diagonale principale. Gli elementi da sinistra in basso a destra sono definiti diagonale secondaria.

Qui gli elementi diagonali principali sono mostrati in colore rosso:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$

e gli elementi diagonali secondari in colore verde:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m-1} & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m-1} & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m-1} & a_{n m} \end{matrix})$

Matrice dell'unità

La matrice in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e tutti gli altri elementi sono uguali a 0 significa matrice unitaria E.

$E = (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})$

Matrice trasposta

La matrice speculare sulla diagonale principale è detta trasposta. Per una matrice A = (a_ij) la matrice trasposta A^T = (a_ij). La trasposta di una matrice trasposta è la matrice stessa A = (A^T)^T.

$A^{T} = {(a_{i j})}^{T} = {(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n 2} \\ ⋮ \\ a_{1 m} & a_{2 m} & \dots & a_{n m} \end{matrix})$

Determinante

A ogni matrice quadrata può essere assegnato un numero unico, chiamato determinante (det(A)) della matrice. In generale, il determinante di una matrice NxN è definito dalla formula di Leibniz:

$det A = \sum_{σ \in S_{n}}^{} (sgn (σ) Π_{i = 1}^{n} A_{i ρ (i)})$

in questo caso la somma deve essere estesa a tutte le permutazioni σ. Quindi, a partire dagli elementi di A, si formano tutti i possibili prodotti per ogni n-elemento in modo tale che ciascuno dei prodotti di ogni riga e colonna contenga esattamente un elemento. Questi prodotti vengono sommati e la somma è il determinante di A. Il segno dei sommatori è positivo per le permutazioni pari e negativo per quelle dispari.

Matrice inversa

La matrice inversa A^-1 è definita dalla seguente equazione

$A \cdot A^{-1} = E$

Le matrici per le quali esiste un'inversa sono dette matrici regolari. Le matrici che non hanno un'inversa sono chiamate matrici singolari.

Per la matrice inversa valgono le seguenti regole di calcolo:

${(A \cdot B)}^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$

${(A^{-1})}^{-1} = A$

Il calcolo della matrice inversa A^-1 può essere effettuato con l'algoritmo di Gauss-Jordan o con gli annessi. Il metodo di Gauss-Jordan trasforma la matrice (A | E) nella forma (E | A^-1) da cui si può leggere direttamente l'inversa. Con gli aggiunti e il determinante l'inversa può essere calcolata direttamente come

$A^{-1} = \frac{1}{\det (A)} {adj(A)}^{T}$

Classi di matrici

Una matrice quadrata A è detta matrice simmetrica se e solo se A^T = A e una matrice antisimmetrica vale se A^T = A. Una matrice ortogonale se e solo se A^T = A^-1

Matrice Adjungate

L'adiacente della matrice A viene calcolato in modo tale che per ogni elemento della matrice a_ij venga impostato un sottodeterminante togliendo la riga i e la colonna j. Il valore di questo determinante viene moltiplicato per (-1)^i+j che dà l'elemento i,j della matrice adiacente.

Regole di calcolo per le matrici

La moltiplicazione della matrice è associativa:

$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$

La moltiplicazione e l'addizione di matrici sono distributive.:

$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

Per l'addizione e la moltiplicazione per numeri reali λ, μ:

$(λ + μ) \cdot A = λ \cdot A + μ \cdot A$

e:

$λ \cdot (A + B) = λ \cdot A + λ \cdot B$

Esistono matrici a divisore zero A ≠ 0 e B ≠ 0 che valgono per

$A \cdot B = 0$

Per le matrici quadrate è:

$\det (A + B) = \det (A) + \det (B)$

Somma di matrici

L'addizione di due matrici A e B si effettua sommando gli elementi delle matrici. C = A + B con c_{i, j} = a_{i, j} + b _{i, j}

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 m} \\ ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 m} + b_{1 m} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 m} + b_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} + b_{n 1} & a_{n 2} + b_{n 2} & \dots & a_{n m} + b_{n m} \end{matrix})$

Calcolatrice per l'addizione di due matrici:

+

=

Un calcolatore generale per la somma di matrici NxM si trova qui: Addizione sottrazione di matrici-MxN

Sottrazione di matrici

La sottrazione di due matrici A e B si ottiene sottraendo gli elementi delle matrici. C = A - B con c_i,j= a_i,j - b_i,j

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) - (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 m} \\ ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \dots & a_{1 m} - b_{1 m} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \dots & a_{2 m} - b_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} - b_{n 1} & a_{n 2} - b_{n 2} & \dots & a_{n m} - b_{n m} \end{matrix})$

Calcolatrice per la sottrazione di due matrici:

-

=

Un calcolatore generale per la sottrazione di matrici NxM si trova qui: Addition soustraction MxN matrices

Moltiplicazione di matrici per uno scalare

La moltiplicazione di una matrice per uno scalare si ottiene moltiplicando ciascuno per gli elementi scalari della matrice. a * B = a * b_i,j

$λ \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ \cdot a_{11} & λ \cdot a_{12} & \dots & λ \cdot a_{1 m} \\ λ \cdot a_{21} & λ \cdot a_{22} & \dots & λ \cdot a_{2 m} \\ ⋮ \\ λ \cdot a_{n 1} & λ \cdot a_{n 2} & \dots & λ \cdot a_{n m} \end{matrix})$

Moltiplicazione di matrici

La moltiplicazione di due matrici A e B richiede che il numero di colonne della prima matrice sia uguale al numero di righe della seconda matrice. Il prodotto ottenuto dalla moltiplicazione degli elementi di riga e colonna viene sommato. Per il primo elemento della matrice risultato, gli elementi della prima riga della prima matrice vengono moltiplicati per gli elementi della prima colonna della seconda matrice e sommati. Per gli altri elementi si procede allo stesso modo per le altre righe e colonne.

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 j} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 j} \\ ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m j} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{m} (a_{1 k} \cdot b_{k 1}) & \sum_{k = 1}^{m} (a_{1 k} \cdot b_{k 2}) & \dots & \sum_{k = 1}^{m} (a_{1 k} \cdot b_{k j}) \\ \sum_{k = 1}^{m} (a_{2 k} \cdot b_{k 1}) & \sum_{k = 1}^{m} (a_{2 k} \cdot b_{k 2}) & \dots & \sum_{k = 1}^{m} (a_{2 k} \cdot b_{k j}) \\ ⋮ \\ \sum_{k = 1}^{m} (a_{n k} \cdot b_{k 1}) & \sum_{k = 1}^{m} (a_{n k} \cdot b_{k 2}) & \dots & \sum_{k = 1}^{m} (a_{n k} \cdot b_{k j}) \end{matrix})$

Un calcolatore generale per la moltiplicazione di matrici NxM si trova qui: Moltiplicazione di matrici

Regola di Sarrus

Il determinante di una matrice quadrata 3x3 si calcola secondo la regola di Sarrus sottraendo la somma dei prodotti della diagonale principale dalla somma dei prodotti della diagonale secondaria.

Un risolutore di determinanti generale è qui: Determinante NxN

Calcolo dell'inverso tramite Gauss-Jordan

Si vuole la matrice inversa A^-1 della matrice A. Per questo, prima con la matrice identità, si forma la matrice E (A | E). Con opportune trasformazioni siamo riusciti a formare la matrice (E | A^-1). Di seguito si riportano i passaggi di un esempio.

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 N} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 N} \\ ⋮ \\ a_{N 1} & a_{N 2} & \dots & a_{N N} \end{matrix})$

Approccio Gauss-Jordan

$(A | E) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 N} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 N} \\ ⋮ \\ a_{N 1} & a_{N 2} & \dots & a_{N N} \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})$

Trasformazioni per ottenere la forma seguente.

$(E | A^{-1}) =$ $(\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 N} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 N} \\ ⋮ \\ b_{N 1} & b_{N 2} & \dots & b_{N N} \end{matrix})$

Calcolatrice per la matrice inversa: Matrice inversa

Calcolo dell'adiacente di una matrice

L'adiacente della matrice A viene calcolato in modo che per ogni elemento della matrice a_ij venga impostato un sottodeterminante con la rimozione della riga i e della colonna j. Il valore di questo determinante viene moltiplicato per (-1)^i+j che dà l'elemento i,j della matrice adiacente.

$a_{i j}^{*} = {(- 1)}^{(i + j)} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1, j - 1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, j - 1} & a_{i - 1, j + 1} & \dots & a_{i - 1, n} \\ a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, j - 1} & a_{i + 1, j + 1} & \dots & a_{i + 1, n} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n, j - 1} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

Il risultato è la matrice adjungate.

$adj(A)= (\begin{matrix} a_{11}^{*} & a_{12}^{*} & \dots & a_{1 n}^{*} \\ a_{21}^{*} & a_{22}^{*} & \dots & a_{2 n}^{*} \\ ⋮ \\ a_{n 1}^{*} & a_{n 1}^{*} & \dots & a_{n n}^{*} \end{matrix})$

Calcolatrice per la matrice adiuvata: Matrice adattata-NxN

Moltiplicazione di un vettore con una matrice

Il prodotto di una matrice con un vettore è un'immagine lineare. La moltiplicazione si spiega se il numero di colonne della matrice è uguale al numero di elementi del vettore. Il risultato è un vettore il cui numero di componenti è uguale al numero di righe della matrice. Ciò significa che una matrice con 2 righe mappa sempre un vettore in un vettore con due componenti.

$A \cdot \vec{v} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n m} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} v_{1} + a_{12} v_{2} + \dots + a_{1 m} v_{m} \\ a_{21} v_{1} + a_{22} v_{2} + \dots + a_{2 m} v_{m} \\ ⋮ \\ a_{n 1} v_{1} + a_{n 2} v_{2} + \dots + a_{n m} v_{m} \end{matrix})$

Calcolatrice per il prodotto matrice-vettore: Matrice vettore prodotto

Calcolo degli autovalori

L'equazione

$A v = λ v$

può essere trasformata nel sistema di equazioni omogenee

$(A - λ E) v = 0$

Il sistema di equazioni ha una soluzione non banale se e solo se il determinante scompare. Che se applicabile

$\det (A - λ E) = 0$

Il polinomio è detto polinomio caratteristico di A e l'equazione è l'equazione caratteristica di A. Se λ_i è un autovalore di A, allora le soluzioni dell'equazione caratteristica sono gli autovettori di A all'autovalore λ_i.

Calcolatrice per autovalori: Eigenvalues